تحقیق كاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال كانولوشن

تحقیق كاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال كانولوشن

فهرست مطالب

عنوان                                  صفحه

كاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار....... 1

16-1- مقدمه............................ 1

16-2- عناصر مدار در حوزة s............. 2

16-3- تحلیل مدار در حوزة s.............. 9

16-4 چند مثال تشریحی.................... 10

16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار............ 28

16-6 خلاصه.............................. 46

17-5- تابع تبدیل و انتگرال كانولوشن.... 48

 مراجع........................................... 64

...

بخشهایی از متن:

مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد كه آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل كرده است. نخست به كمك آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل كرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفك فرایند تبدیل اند. اما در روشهای كلاسیك حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند كه می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه كنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به كمك تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف كنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امكان می دهد كه مداری بسازیم كه مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده كرد و معادلات جبری توصیف كنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند كه تبدیل عكس آنها را به كمك تجزیه به كسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم كه جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست كه بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یكای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یكای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

...

پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذكر چند نكته می پردازیم كه اساس تمام كارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم كه چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9)             V=ZI

كه در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نكته ای كه در معادلة (16-9) آمده است، در شكلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادلة (16-9) را قانون اهم در حوزة s می نامند.

عكس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد تركیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل  حوزة بسامدی می توان از ساده كردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده كرد.

نكتة مهم دیگر این است كه قوانین كبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به كار برد. دلیل این امراین است  كه بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یكایك توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا كه جمع جبری جریانها در یك گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین كیرشهف در حوزة s چنین اند.

(16-10)        ها ) جبری

(16-11)            V)=o ها) جبری

نكتة سوم مبتنی بر درك مفاهیم نهفته در دو نكتة اول است. ازآنجا كه ولتاژ  و جریان در پایانه های عناصر غیر فعال به وسیلة معادلاتی جبری به هم مربوط می شوند و قانون كیرشهف همچنان برقرار است، پس كلیة روشهای تحلیل شبكه های مقاومتی را میتوان در تحلیل مدارها در حوزة بسامد به كار برد. بنابراین حتی اگر در القا گرها و خازنها انرژی اولیة ذخیره شده باشد روشهای ولتاژ گره، جریان خانه، تبدیل منابع، هم ارزهای تونن- نورتن و روشهای معتبری هستند. چنانچه در مدار انرژی اولیه ذخیره شده باشد باید معادلة (16-9) را تغییر داد این تغییر بسیار ساده است و كافی است به كمك قوانین كیرشهف منابع مستقل لازم را با امپدانس عناصر موازی یا متوالی كرد.

16-4 چند مثال تشریحی

برای نشان دادن چگونگی استفاده از تبدیل لاپلاس در تعیین رفتار گذرای مدارهای خطی با پارامترهای فشرده، مدارهای تحلیل شده در فصلهای 6،7و8 را به كار می بریم. علت تحلیل این مدارهای آشنا این است كه وقتی در یابیم نتایج به دست آمده با نتایج قبلی یكسان است، به توانایی خود در تحلیل مدارها به كمك روش تبدیل لاپلاس اطمینان می یابیم.